ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 - ĐỀ SỐ 2

Câu 1 (4,0 điểm).

1. Tính: $A = \frac{1-0,8+\frac{8}{11}+\frac{8}{12}}{0,625-0,5+\frac{5}{11}+\frac{5}{12}} + \frac{1,5+1-0,75}{2,5+\frac{5}{3}-1,25}$

2. Cho các số $a, b, c, d$ khác $0$ thỏa mãn: $a+b+c+d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{d}{a}$.
Tính $M = \frac{3a-2b}{c+d} + \frac{3b-2c}{d+a} + \frac{3c-2d}{a+b} + \frac{3d-2a}{b+c}$

Câu 2 (4,0 điểm).

1. Tìm $x, y$ biết: $\frac{x^2+y^2}{10} = \frac{x^2-2y^2}{7} \quad \text{và} \quad x^4 y^4 = 81$

2. So sánh $\sqrt{2020.2022}$ và $2021$

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho các số $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn: $a+b+c = a^2+b^2+c^2 = 1$ và $x:y:z = a:b:c$.
Chứng minh rằng: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2$

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho hàm số $y = m|x| - m + 2$ với $m$ là hằng số.
a) Tính $m$ biết đồ thị hàm số đi qua điểm $Q(-2; 4)$.
b) Với $m$ vừa tìm được, tìm trên đồ thị hàm số những điểm $M(x_0; y_0)$ thỏa mãn: $x_0 - y_0 = -2019$

Câu 5 (6,0 điểm).

Cho tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Gọi $D$ là điểm thuộc cạnh $AB$ và $I$ là trung điểm của $CD$. Trên tia $IM$ lấy điểm $K$ sao cho $M$ là trung điểm của $IK$.
a) Chứng minh rằng: $BK$ song song với $DC$.
b) Chứng minh rằng: $BD \parallel IM$ và $BD = 2 IM$.
c) Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc $BAC$ tại $F$ và cắt các tia $AB$, $AC$ lần lượt tại $G$ và $H$. Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng $AC$ và cắt $GH$ tại $E$. Chứng minh tam giác $BGE$ cân.
d) Trên cạnh $AC$ lấy điểm $J$ sao cho $BD = CJ$. Gọi $N$ là trung điểm $DJ$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $GH$.

Câu 6 (1,0 điểm).

Tìm các số nguyên $a, b$ thỏa mãn $a + b = -2$ và $ab - 1$ là một số chính phương.