ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 - ĐỀ SỐ 1

Câu 1 (4,0 điểm).

1. Thực hiện phép tính sau

$A=\frac{2022}{2023}:\left(\frac{0,4-\frac{2}{11}+\frac{2}{13}}{1,4-\frac{7}{11}+\frac{7}{13}}+\frac{2,5-\frac{5}{3}+1,25}{3,5-2\frac{1}{3}+1,75}\right)$.

2. Cho $B=\frac{3^{2023}-4}{3^{2022}-1}$ và $C=\frac{3^{2022}-4}{3^{2021}-1}$. Hãy so sánh $B$ và $C$.

Câu 2 (4,0 điểm).

1. Tìm $x$, biết $3\frac{1}{2}:\left(4-\frac{1}{3}\cdot|2x-1|\right)=\frac{21}{22}$.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=|x-2022|+|x-2023|$.

Câu 3 (4,5 điểm).

1. Biết $\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$ ($a,b,c ≠ 0$). Chứng minh rằng $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$.

2. Lúc ban đầu ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi bán đi $\frac{1}{5}$ số thóc ở kho I, $\frac{1}{6}$ số thóc ở kho II và $\frac{1}{11}$ số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?

Câu 4 (6,5 điểm).

1. Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $E$ sao cho $ME = MA$.

a) Chứng minh rằng: $AC = EB$ và $AC // BE$.

b) Gọi $I$ là một điểm trên cạnh $AC$; $K$ là một điểm trên cạnh $EB$ sao cho $AI = EK$. Chứng minh ba điểm $I, M, K$ thẳng hàng.

c) Từ $B$ kẻ $BP \perp AM$, từ $C$ kẻ $CQ \perp AM$ ($P, Q \in AE$). Chứng minh $AP + AQ = 2 AM$.

2. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=15^{\circ}, \widehat{ABC}=45^{\circ}$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $D$ sao cho $CD = 2 CB$. Tính số đo $\widehat{ADC}$.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

$ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2 \le 2(ab+bc+ca)$.